Para comenzar a hablar sobre aritmética es preciso tener muy claros algunos conceptos abstractos, que aunque son bien conocidos por todos, no esta de más repasarlos un poco.
Unidad o Singularidad: Se habla de singularidad cuando hablamos de objetos aislados, cuando nos centramos en una solo cosa o ente, como en una mesa o una pelota, dicho objeto a la vez representa una unidad, es decir, un objeto o ser aislado.
Pluralidad: Al pensar en un grupo de cosas, en multitud, sin pensar en una cantidad determinada podremos captar el concepto de pluralidad. Así pues pluraridad es lo contrario a singularidad, y es lo que todos los objetos de un grupo tienen en común, sin importar sus atributos.
Conjunto: Es un grupo de objetos (o de unidades) que tienen algo en común, por ejemplo podemos hablar de un conjunto de lápices o un conjunto de cartas. Usualmente suelen usarse letras mayúsculas para designar conjuntos, así podemos decir que el conjunto A son un grupo de lápices y el B un grupo de cartas.
Elemento: Cada objeto (o unidad) de un conjunto se le llama elemento. Suelen usarse letras minúsculas para representar elementos de un conjunto.
Los conjuntos pueden ser materiales o no, así podemos hablar de conjuntos de objetos materiales como casas, camisas, libros, etc… o conjuntos de cosas no materiales, como ideas, colores, formas, etc…
Existe una relación entre conjunto y elemento, se le podría llamar una relatividad, ya que dependiendo del contexto, un conjunto puede convertirse en elemento. Por ejemplo, pensemos en un colegio, si nos enfocamos en el conjunto de una aula de clases, cada alumno es un elemento y cada aula de clases un conjunto, sin embargo podemos hablar del conjunto del colegio, entonces cada aula de clases se convierte en un elemento del del colegio. En general al hablar de conjuntos no es necesario pensar en pluraridad, ya que pueden existir conjuntos de un solo elemento, tampoco es necesario pensar que un grupo con una pluralidad es un conjunto, ya que dependiendo del contexto puede ser un elemento.
Subconjunto: Es una parte de un conjunto mayor considerada de forma separada pero sin dejar de ser parte del mismo. Por ejemplo, en el caso del colegio, si consideramos al conjunto de todas las aulas de clases, un subconjunto de este puede ser el conjunto de todas las aulas de cierto grado.
Al igual que con los términos conjunto y elemento, existe una relatividad entre subconjunto y conjunto, ya que un subconjunto a su vez puede ser considerado como conjunto si se ve aisladamente, y un conjunto puede considerarse como subconjunto si se considera respecto a uno mayor. En general decimos que un conjunto A es subconjunto de otro B, si B tiene al menos todos los elementos de A. Claro esta, un subconjunto también puede ser considerado como un elemento según el contexto.
Si un conjunto carece de elemento lo llamaremos conjunto vacío, y lo denotaremos por Ø (un circulo tachado con una linea inclinada).
Luego de repasar todos estos conceptos básicos podemos pasar a dar lo que se conoce como Postulado Fundamental de la Aritmética:
“A todo conjunto se le pueden quitar o agregar elementos”
Dicho esto podemos concluir que a un conjunto se le puede agregar cualquier cantidad de elementos, conjuntos o subconjuntos y también se le pueden quitar elementos o subconjuntos de él mismo. Inclusive el conjunto vacío cumple esta propiedad, ya que al conjunto vacío podemos agregarle cualquier elemento como es evidente e inclusive podemos quitarle, esto quizás no sea muy evidente, porque podria pensarse que a nada no se le puede quitar algo, pero al conjunto vacío se le pueden quitar otros conjuntos vacíos, para entender esto pensemos en el número 0, le podemos restar 0 las veces que queramos y siendo que 0 es un número también, podermos decir que le hemos restado un número varias veces, así un conjunto vacío contiene infinitos conjuntos vacíos (quizás el alumnos tenga alguna confusión es este momento, pero con el tiempo podrá entender mejor este concepto, por ahora solo debe concentrarse en el postulado).
Clasificación de los Conjuntos
Luego de tener claro que es un conjunto podemos clasificarlos según sus elementos en homogéneos a aquellos conjuntos en los que todos sus elementos son de la misma especie, heterogéneos a los que tienen elementos de distinta especie. Asimismo se clasifican en finitos e infinitos si tienen una cantidad contable de elementos o si tienen infinitos elementos respectivamente.
Es importante recalcar que la especie de los elementos debe ser establecida en cada caso, asi dos cosas pueden ser consideradas de la misma especie simplemente por tener el mismo color o la misma forma, por tanto la especie de cada elemente esta sujeta a considerar.
Relaciones entre Conjuntos
Se dice que dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos.
Se dice que dos conjuntos son coordinables si ambos tienen la misma cantidad de elementos. Coordinar dos conjuntos entre si es asignar un elemento de uno a otro elemento del otro, por ejemplo, volviendo a los conjuntos en un colegio, imaginemos que un conjunto esta formado por todos los alumnos de un grado y otro conjunto son los pupítres de esa aula, entonces coordinar ambos conjuntos es asignarle un pupítre a cada alumno. De haber más alumnos (cuando quedan algunos de pie) o más pupítres (quedan asientos vacíos después de que se han sentado todos los alumnos) entonces se dice que el más chico es coordinable entre el grande.
Cuando dos conjuntos son coordinables entre si se dice que tienen la misma pluraridad.
Sucesión Fundamental de Conjuntos
Es una serie que comienza con el conjunto vacío al cual se le agrega un elemento para formar el conjunto siguiente. Suele representarse con letras mayúscula de este modo:
Ø; A ; A,B ; A,B,C ; A,B,C,D ; A,B,C,D,E; A,B,C,D,E,F; …
